Теория вероятности в азартных играх

Честный рейтинг казино за 2020 год:
  • JoyCasino
    JoyCasino

    №1 в рейтинге по бонусам и отдаче денег!

  • CasinoX
    CasinoX

    Пополняйте счет и получайте большие бонусы!

  • Чемпион
    Чемпион

    Лучшее русское казино с высокими выплатами!

Теория вероятностей в азартных играх

Основы теории вероятностей

Азартные игры привлекают людей уже очень давно, ведь выигрыш и проигрыш зависит от везения, случая и немного от умения игрока играть. Азартные игры бывают разнообразные – баккара, рулетка, очко, штос, лотерея, спортивные пари и все ставки в тотализаторе и другие, но всех их объединяет теория вероятности выигрыша и проигрыша.

Основной элемент. Предвидеть случайность

Теории вероятности в истории

Теория вероятности в азартных играх проявила себя еще в XVII веке, благодаря Шевалье де Меру . Он придумал заключать пари с наибольшей вероятностью выигрыша, просчитав все варианты, он сначала выигрывал и из-за того, что с ним никто больше не хотел заключать пари, просчитал другой, как он думал выигрышный вариант. Он думал, что он будет выигрышным, как и первый, но немного просчитался. Чтобы понять, где он совершил ошибку, он обратился к математику Блезу Паскалю . Так, благодаря Шевалье и его теории вероятности в азартных играх, возникла новая наука. Многие ученые пытались просчитать разные возможности выигрыша и проигрыша в игре.

На грани безумия. Невероятная вероятность.

Что нужно брать во внимание, просчитывая варианты выигрыша?

Теория вероятности в азартных играх берет во внимание несколько категорий:

  1. Количество проводимых испытаний;
  2. Вероятность того, что событие случится в случае одного испытания;
  3. Степень уверенности в выигрыше;
  4. Случайность.

Если рассмотреть теорию вероятности в лотереи, то можно применить такую формулу:

n *( n -1)*( n -2)*…*( n -( m -1))/ m *( m -1)*( m -2)*…*1

n – общее количество шариков;
m – количество, которое нужно угадать.

В лотереи из 49 шаров, где нужно угадать 6 шаров, расчет будет выглядеть так:

49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 13 983 816

13 983 816 – число, степени уверенности в выигрыше.

Для разных азартных игр, теория вероятности будет разная. Бросая игральный кубик, у игрока вероятность выигрыша составляет 16,66%, то есть возможность, что выпадет необходимая комбинация – 1, делится на число возможных комбинаций – 6:

Лучшие русские казиношки:
  • JoyCasino
    JoyCasino

    №1 в рейтинге по бонусам и отдаче денег!

  • CasinoX
    CasinoX

    Пополняйте счет и получайте большие бонусы!

  • Чемпион
    Чемпион

    Лучшее русское казино с высокими выплатами!

Такое событие, как выигрыш может быть: случайным, невозможным или достоверным.

Достоверное событие – событие, которое произойдет в любом случае если соблюдать все условия, для его совершения. Играя в кости, рано или поздно выиграешь.

Случайное – случайный выигрыш, например, когда человек начал играть и сам того не ожидая, сразу же выиграл.

Невозможное событие – когда возможность выигрыша равна 0.

Закон больших чисел в теории вероятности

Яков Бернулли , исследуя теорию вероятности выигрыша, установил, что чем больше количество испытаний, количество одних или других событий будет стремиться к вероятности, умноженной на количество этих испытаний. Этот закон срабатывает, если в одну игру сыграть примерно 10000 раз. Этот закон он установил бросая монетку.

В случае с азартными играми этот закон действует также Игрок при огромном количестве игр выиграет столько же сколько и проиграет.

Если человек будет бросать кубик 6000 раз, а сумма ставки – 1 $, то он выиграет:

1 / 6 * 6000 * 5$ = 5000$ и проиграет также 5000 $, ведь 5 / 6 * 6000 * 1 = 5000 $.

Для того чтобы закон больших чисел начал работать – нужно верить в результат и проявлять усердие в игре. Все в мире выравнивается, в том числе и результат игры, но бывают случаи, когда закон не действует из-за везения или невезения человека.

Проблема количества испытаний или парадокс Салиу в теории азартной игры

Вероятность выигрыша в игре можно рассчитать, но расчеты – еще не гарантия того, что человек выиграет. Если рассмотреть игру в рулетку, то вероятность выигрыша 1 / 38 , но сыграв 38 раз человек может и не выиграть вовсе. В этом случае человек задумывается о том, что удача отвернулась от него.

Вероятность выигрыша в азартной игре

В мире существует огромное количество азартных игр, и вероятность выигрыша у них совершенно разные. Все зависит от количества выигрышных комбинаций. Количества игроков, везения, суммы ставок.

Для того чтобы увеличить выигрыш можно играть по-разному. Одни играют много, но на маленькие суммы, другие играют мало, но по крупному. Считается, что увеличить количество денег проще, если играть мало, но делать большие ставки – тогда выигрыш максимальный. Если сыграть в рулетку выбрав цвет или четность, то вероятность выигрыша будет примерно 48 %. Играя с большими ставками вероятность, выиграть огромные деньги увеличивается. Вероятность выигрыша в некоторых играх зависит от везения, но в некоторых вероятность можно увеличить благодаря возможности выбора – карточные игры.

Играя в блекджек или покер, человек может выиграть или проиграть, сделав неправильный выбор. Выигрыш в таких играх зависит не только от теории вероятности, но и от мастерства игрока и его умения держать эмоции под контролем .

Важность соблюдения стратегии азартной игры

Играя в азартные игры, люди, которые впервые столкнулись с игрой и теорией вероятности выигрыша, очень часто совершают одну и ту же ошибку – гонятся за выигрышем, каждый раз ставят на разные числа, цвета. В таком случае возможность выигрыша постоянно уменьшается. Если ставить на одно и то же, то теория вероятности сработает рано или поздно. Если игрок умеет играть, он соблюдая свою стратегию игры, может длительное время играть в минус, но в конечном результате выйти в плюс.

Азартные игры – это всегда интересно, но играя нужно постоянно трезво оценивать свои возможности на выигрыш или проигрыш. Удача – очень часто изменчива и если следовать за принципами теории вероятности, то выиграв несколько раз, потом можно все проиграть, если не остановиться. Бывали случаи, когда бедные люди выигрывали за несколько часов миллионы и проигрывали их в тот же день, оставаясь с тем, с чем пришли. А другие выигрывали и вовремя останавливались, что давало возможность полностью поменять свою жизнь к лучшему.

Теория вероятности в азартной игре может помочь выиграть, но если человек все хорошо продумает, просчитает и останется верным выбранной стратегии. В любом случае всегда есть возможность выигрыша и возможность проигрыша в азартной игре, но если накапливать знания и умения играть, то в некоторых случаях это дает возможность увеличить шансы на выигрыш.

Почему математики не тратят время на лотереи

Проект «Теория вероятностей в азартных играх»

Проект ученика 11 класса к уроку математики по теме «Введение в теорию вероятностей»

Скачать:

Вложение Размер
teoriya_veroyatnostey_v_azartnyh_igrah.pptx 2.19 МБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

в азартных играх Кортунов Роман 11а

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку.

Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был формально прав. Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей .

Часто приходиться составлять из конечного числа элементов различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи получили название комбинаторных, а раздел математики , занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

К началу XX в. Комбинаторика считалась законченной частью математики. Давно сложилась принятая специфическая терминология (перестановки, сочетания, размещения и т.д.).. В XX в.комбинаторику стали воспринимать как первую главу теории множеств, занимающуюся конечными множествами (их подмножествами, отображениями друг на друга и т.п.), что содействовало более последовательной классификации комбинаторных задач.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Колмогоров Андрей Николаевич (1903-87), российский математик, основатель научных школ по теории вероятностей и теории функций, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963). Фундаментальные труды по теории функций, математической логике, топологии, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и особенно по теории вероятностей (аксиоматическое обоснование, теория случайных процессов) и теории информации. Ленинская премия (1965), Государственная премия СССР (1941).

Если тысячи и миллионы опытов, поставленных в одних и тех же условиях, всегда приводят к определенному событию (выпущенное из руки яблоко падает на землю), то событие называется достоверным. А коль скоро миллионы опытов показывают, что некоторый их исход никогда не наблюдается (монета, брошенная на стол, никогда не останавливается на ребре), то такие события называются невозможными.

Несомненно каждому из нас случалось рассуждать о «вероятности» наступления того или иного события, говорить, что какое-либо событие «наиболее вероятно», «мало вероятно» и т.п.

Слово «азарт» приобрело в русском языке новый смысл. Это перевод французского слова hazard, что означает « случай ». Так что азартные игры – это игры, построенные на случае, что звучит уже вполне научно и респектабельно.

На заре человечества появились азартные игры. Их история начинается с игральных костей. Изобретение этого развлечения, источника радостей и несчастий, приписывается и индийцам, и египтянам, и грекам в лице Паламеда .

Проигрыши и выигрыши чередуются случайно, и, в конце концов, обязательно встретится то, что называют «полосой везения» или «полосой невезения». Эти полосы могут быть настолько затяжными, что у партнера победнее будут выкачаны все деньги.

Есть лишь одно обстоятельство, которое нарушает равенство игроков, сражающихся в такие игры как игральные кости. То есть в игры, где игрокам ничего не надо решать, ибо игрой не предусмотрен выбор (за исключением выбора: играть или отказаться). Этим обстоятельством является количество денег .

Нетрудно видеть, что шансы на стороне того игрока, у которого их больше.

Можно ли выиграть в рулетку? Нет ничего невозможного. Представьте, что вы хотите выиграть в орлянку. Неважно сколько, допустим, $1. Можете ли вы выиграть наверняка? Ответ: в реальной жизни – да, можете, но при соблюдении двух условий: 1. Если примут ваши правила игры. 2. Если у вас есть значительный капитал, позволяющий играть по определённой системе.

Какова вероятность того, что орёл не выпадет никогда? Давайте посчитаем. Вероятность того, что орёл не выпадет первым же броском, составляет 1/2. Вероятность того, что орёл не выпадет ни первым, ни вторым броском – (1/2)2 или 1/4. Дальше вероятность уменьшается в геометрической прогрессии. Из трёх бросков – 1/8, из четырёх – 1/16. из десяти – 1/1024.

С рулеткой дело обстоит точно так же, если вы ставите на так называемые равные шансы: красное-чёрное, чёт-нечет, больше-меньше. Разница лишь в том, что вероятность выпадения каждого из этих шансов составляет чуть меньше половины – не 1/2, а 18/37 (за счёт того, что на рулетке есть zero ).

ВСЯ БЕДА ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ТОМ, ЧТО НАМ С ВАМИ НЕ ДАДУТ ПРИМЕНИТЬ НА ПРАКТИКЕ СТОЛЬ БЛЕСТЯЩИЙ СПОСОБ ОБОГАЩЕНИЯ. Игорное заведение имеет простой способ не допустить превращения игры в скачку со ставками, где игрок был бы практически «обречён» на выигрыш.

Особо популярными были и остаются игровые автоматы. Но здесь дело обстоит немного сложнее. Выпадение чисел основано на теории вероятности, но за это отвечает программа . Ясное дело, что, как бы ни старался игрок, он все равно останется в проигрыше. Однако это вовсе не значит, что автомат нельзя обмануть. Это всего лишь программа. А любую программу можно либо обойти, либо сломать.

Работа любого игрового автомата, вне зависимости от способа реализации игровых услуг, целиком и полностью подчинена определенному алгоритму.

В истории игорного бизнеса надолго остался один из способов ограбления слотов, известный как «засечка времени активизации диска». Его было трудно обнаружить, так как отсутствовали внешние признаки вмешательства в нормальную работу механизма. Среди умельцев было множество никак не связанных между собой групп, научившихся стабильно выигрывать у «одноруких бандитов».

Суть открытия «темп – бойз » состояла в том, что если дёргать рукоятку слот – машины в определённое время ( с точностью до секунды ), то аппарат повторяет только что выпавшую комбинацию. Казино тогда были оснащены исключительно механическими слот – машинами, а у них был один существенный недостаток: роль ГСЧ выполнял сам набор барабанов, надетых на одну ось.

Как выиграть в карты? Скорее всего, вопрос поставлен немного те так. Лучше будет задаться вопросом — как не проиграть в карты? Многие считают, что в карты выигрывать постоянно невозможно, в конечном итоге проигрыш все-равно наступит. И это так, но если систематически выигрывать большие суммы, а потом проиграть одну маленькую, то проигрыш не будет казаться разорительным.

Большую роль играет соперник. Как выиграть в карты у профессионального шулера, знает только такой же шулер. А вот, как выиграть в карты у дилера казино? — это уже вопрос другой. Возьмем, к примеру, карточную игру Блэкджек . Математические шансы выигрыша игрока немного превышают шансы казино. Но, почему-то казино, практически, всегда выигрывает.

Существенным моментом, который может помешать Вам выиграть в карты, является размер ставок. Для каждой игры он различается. Ставка должна рассчитываться из суммы вашего бюджета. Если Вы играете в Блэкджек и Ваш бюджет равен 1500$, то оптимальная ставка будет 100$. Для Семикарточного стад покера — 50$. А вот для пятикарточного покера 50$ будет маловато.

Чтобы часто выигрывать в карты нельзя играть долгий период времени, обязательно нужно делать перерывы в игре. Сейчас объясню, почему. В начале у Вас имеется определенная сумма для игры, когда Вы проигрываете или выигрываете эта сумма, то убавляется, то прибавляется, т. е. то в плюс, то в минус.

По традиции, испокон веков местом, где делались спортивные ставки, был ипподром. Но только лишь в XIX веке самые разные виды спорта начали становиться предметом тотализатора. Вскоре практика показала, что ставить можно на всё, что бегает, прыгает, ездит и летает. Тогда же зародилась профессия букмекера — профессионального спорщика. первую официальную букмекерскую контору в мире открыли в середине 19 века в Лондоне Левиафан Дэвис и Фред Суинделл . Здесь джентльмены встречались пообщаться, посмотреть на лошадиные бега и сделать спортивные ставки на выигрыш.

Если, скажем, вероятность натолкнуться на соответствующую информацию в течение одного дня равна одной сотой, то через сто дней 37 процентов населения, так сказать, омываемого этим потоком информации, так и не столкнется с этой рекламой, другие 37 процентов встретятся с упоминанием о рекламируемом предмете 1 раз, 18 процентов – два раза, 6 процентов – три раза и т.д. Эти числа дает распределение Пуассона.

Эффективным средством повышения действенности рекламы является повышение усвоения информации. Реклама должна быть не только привлекательной, но и информативной. В случае, когда полученная посредством рекламы информация не обманывает надежд покупателя, вы получаете постоянных клиентов.

Таким образом, огромное число факторов делает совершенно непредсказуемым результат выброса костей, изготовленных без жульничества. А рассуждения о том, что вот если бы была возможность разместить кости в кубке в положении, фиксируемом с микронной точностью, да если бы еще направление выбрасывания костей можно было бы установить с точностью тысячных долей углового градуса, да, кроме того, силу броска измерить с точностью до миллионных долей грамма. вот тогда можно было бы предсказать результат, и случай был бы с позором изгнан из этого опыта, – есть абсолютно пустой разговор. Ведь постоянство условий, при которых протекает явление или ставится опыт, есть практическое понятие. А условия проведения двух испытаний одинаковы лишь в том случае, если мы не можем установить различий между ними.

Теория вероятностей в жизни

Ценность теории вероятностей для общего образования. Краткая историческая справка появления азартных игр, применение теории в них. Сущность закона Бернулли. Художественная правда и вероятность сложного события. Краткая характеристика теории рекламы.

Рубрика Математика
Вид доклад
Язык русский
Дата добавления 21.02.2020
Размер файла 29,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Донецкая общеобразовательная школа Й-ЙЙЙ ступеней №90

Теория вероятностей в жизни

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать, в разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь идет о теории вероятностей. Кстати правильно говорить именно «теория вероятностей» во множественном числе, а не «теория вероятности».

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность — нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»

У каждого «случайного» события есть четкая вероятность его наступления. В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из года в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете — это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21 000 лет чтобы погибнуть.

По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей. косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.

По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом. но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете. От падения кокосов погибает — 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая.

В своем докладе я попробую проверить, действительно ли теория вероятностей действует и как её можно применить в жизни.

Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

вероятность теория игра бернулли

Теория вероятностей — это один из самых интересных разделов Высшей Математики. Теория вероятностей, являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Она представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение в повседневной жизни. Так, каждому из нас ежедневно приходится принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

Теперь же давайте перейдем к самой теории и истории ее возникновения. Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценки вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно недавно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятностей, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения — демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

На сегодняшний день теория вероятностей — это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения.

Применение теории в азартных играх

Азартные игры появились на заре человечества. Их история начинается с игральных костей. Изобретение этого развлечения, источника радостей и несчастий, приписывается и индийцам, и египтянам, и грекам в лице Паламеда. При раскопках в Египте находили игральные кости разной формы — четырехгранные, двенадцатигранные и даже двадцатигранные. Но, разумеется, больше всего находили шестигранные, то есть кубы. Главная причина преимущественного их распространения — простота изготовления. Удобно и то, что цифры от единицы до шести не слишком малы и не слишком велики. Действительно, оперирование, скажем, с двадцатигранниками потребовало бы уже умственных напряжений для производства арифметических действий. Поэтому кости иной формы, чем кубы, применялись в основном для предсказания судьбы.

Играли двумя костями, а больше — тремя. Их встряхивали в кубке или в руке и бросали на доску. Игр существовало множество. Но, вероятно, наибольшее распространение имело прямолинейное бросание — кто выбросит большую сумму очков.

Итак, игрок дрожащей рукой встряхивает кубок и выбрасывает из него кости. Вверх смотрят какие-то цифры. Какие? Любые. Предсказать их невозможно, так как здесь господствует «Его Величество Случай». Результат события случаен, потому что зависит от большого числа неконтролируемых мелочей: и как кости легли в кубке, и какова была сила и направление броска, и как каждая из костей встретилась с доской, на которую бросали кости. Достаточно крошечного, микронного смещения в начале опыта, чтобы полностью изменился конечный результат. Таким образом, огромное число факторов делает совершенно непредсказуемым результат выброса костей, изготовленных без жульничества.

Если тысячи и миллионы опытов, поставленных в одних и тех же условиях, всегда приводят к определенному событию (выпущенное из руки яблоко падает на землю), то событие называется достоверным. А коль скоро миллионы опытов показывают, что некоторый их исход никогда не наблюдается (невозможно одним караваем хлеба накормить тысячу голодных людей), то такие события называются невозможными. Случайные события лежат между этими двумя крайностями. Они иногда происходят, а иногда нет, хотя практически условия, при которых мы их наблюдаем, не меняются.

Выпадение кости — классический пример случайного события. И все же интересно, можно ли наперед предусмотреть, предугадать, наконец, рассчитать и предсказать результат такого события, и как это делается?

Когда мы сталкиваемся с одинаковыми ситуациями, которые приводят к случайным исходам, на сцене появляется слово «вероятность». Вероятность — это число. А раз так, то оно относится к точным понятиям; и чтобы не попасть впросак, надо пользоваться этим словом с той определенностью и недвусмысленностью, которые приняты в естествознании.

Рассуждение начинается так. Есть некая исходная ситуация, которая может привести к разным результатам: кость-кубик может упасть вверх любой гранью, из колоды берется карта — она может быть любой масти, родился человек — это может быть мальчик или девочка, завтра наступит 10 сентября — день может быть дождливым или солнечным… Число исходов событий может быть самым разным, и мы должны все их держать в уме и знать, что один из них произойдет обязательно, то есть достоверно.

Перечислив все возможные исходы, возникающие из некой ситуации, математик скажет: дана группа исходов события, которая является предметом изучения теории вероятностей.

Различные результаты события, то есть различные представители группы, могут быть равновозможными. Этот самый простой вариант случайности осуществляется в азартных играх. Введем число вероятности на примере игральной кости.

Группой исходов события является выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки. Следующий вопрос, который надо себе задать, таков: сколько из этих событий дают интересующий нас результат? Допустим, мы хотим узнать вероятность выпадения тройки, то есть нас волнует осуществление одного события из группы в шесть. Тогда число благоприятных вариантов (одно — тройка) делят на полное число событий и получают вероятность появления интересующего нас события. В нашем примере вероятность выпадения тройки будет равна 1/6. А чему равна вероятность появления четной цифры? Очевидно, 3/6 (три благоприятных события делят на общее число событий, равное шести). Вероятность же выхода на кости числа, кратного трем, равна 2/6.

Одной костью никто не играет: слишком просто и загодя известно, что вероятность выпадения любой грани — 1/6, и никаких математических задач в такой игре не возникает.

При бросании трех или даже двух костей сразу появляются проблемы, и можно уже задать, скажем, такой вопрос: какова вероятность появления двух шестерок? Каждая из них появляется независимо с вероятностью, равной 1/6. При выпадении шестерки на одной кости вторая может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок одновременно будет равна произведению двух вероятностей (1/6·1/6). Это пример так называемой теории умножения вероятностей. Но на этом новые проблемы не кончаются.

В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще, чем число 9. «Как же так, — спрашивал игрок, — ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был совершенно прав. Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой комбинаторики — основного инструмента расчетов вероятностей.

Итак, в чем же дело? А вот в чем.

Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» — 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование.

При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая.

Итак, нет и не может быть системы, которая позволила бы выиграть в такие игры, как рулетка, кости, карты, в игры чистого случая.

В рулетку выиграть можно, лишь если она работает не по принципу случая, например, если колесо слегка перекошено и какие-то участки оно проходит с повышенным трением. Но такую штуку надо подметить…

Закон Бернулли: орел или решка

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.

Предсказания, использующие знание вероятности события, носят приблизительный характер, если число событий невелико. Однако эти предсказания становятся тем точнее, чем длиннее серия событий.

Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654-1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, которые вводили вероятность как дробь, равную отношению благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте предсказания комбинаторных подсчетов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точности, а лишь близко к половине от общего числа бросков, а число бросков кубика, приводящих к шестерке сверху, не равно в точности, а лишь близко к 1/6 от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, который мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не могут обойтись статистики ни одной области знания.

Сущность этого закона весьма проста.

Положим, «честная» монета бросалась тысячу раз, потом еще тысячу раз, потом еще. И так много раз. Разумеется, герб редко появится ровно 500 раз. Будут серии, где отношение числа появляющихся гербов к 1000 будет совсем близко к 1/2, и такие серии, где отклонение будет довольно значительным. Каким закономерностям подчиняется это отклонение от теоретической вероятности? И — самое главное — как будет меняться отклонение от вычисленной вероятности с увеличением числа бросков?

Яков Бернулли строго доказал, что разности отношения удачных бросков к общему числу бросков и теоретического числа вероятности (в нашем примере — отклонения от 1/2) уменьшаются с возрастанием числа бросков, и эти отклонения могут быть сделаны меньше любого малого, наперед заданного числа.

Отношение числа удачных бросков к общему числу бросков называют «частотой». Закон больших чисел можно сформулировать и так: по мере увеличения числа опытов «частота» события сближается со значением вероятности. Отклонения «частоты» от вероятности при большом числе бросков, измеряемом тысячами, становятся совсем незначительными. О результатах своих немудреных опытов по бросанию монеты поведали миру математики XVIII века. В одном таком опыте герб выпал 2028 раз при общем числе бросков 4000; когда число бросков достигло 12 000, то оказалось, что герб появился 6019 раз; наконец, при числе бросков 24 000 герб выпал 12 012. Частоты при этом изменялись так: 0,507; 0,5016 и 0,5005.

Художественная правда и вероятность сложного события

«Мотор самолета работал с перебоями, по крайней мере, так казалось Николаю Петровичу. Шел он на совсем небольшой высоте. Пролетали засыпанную снегом деревушку, видны были люди, копошившиеся около застрявшего в сугробе грузовика. Вдалеке был виден город, до которого лету оставалось каких-нибудь минут десять-пятнадцать.

В самолете было чертовски холодно, ноги застыли. Николай Петрович вылез из своего кресла и стал двигаться в крошечном пространстве тамбура, отбивая ногами незамысловатую чечетку. Машина попала в воздушную яму, ее тряхнуло раз, другой. Николай Петрович потерял равновесие, его бросило на дверь самолета. Он приготовился встретить основательный удар, но удар оказался неожиданно мягким, и Николай Петрович почувствовал, что проваливается в пустоту и, прежде чем успел сообразить, что случилось, полетел вниз навстречу белой земле.

Ужас сжал сердце, мелькнуло: «Вот и все, дурацкая гибель». Но инстинкт самосохранения вступил в свои права. Наполовину подсознательно тело стремилось принять позу, наиболее безопасную при падении. «Ногами вперед», — только успел он подумать и потерял сознание.

У Веры Аркадьевны сегодня был свободный день. Сначала она собиралась заняться мелкими домашними делами. Начала с уборки комнаты. Случайно взгляд упал на лыжи, которые простояли без дела всю войну, да еще три зимы, которые так незаметно пробежали после Дня Победы. Форточка была открыта, из окна пахнуло свежим холодным воздухом. «Нет, не годится так, — сказала себе Вера Аркадьевна, — я сознательно лишаю себя всех жизненных радостей. Это глупо и никому не нужно. Осталась жива, моя дорогая, и давай живи».

Через пятнадцать минут в синем лыжном костюме, с лыжами в руках Вера Аркадьевна уже выходила из дому. Еще десять минут — последний большой дом был пройден, город кончился, можно было встать на лыжи и отправиться куда глаза глядят. Перед Верой Аркадьевной простиралась гладкая белая скатерть снега, лыжни были засыпаны, и дорогу можно было выбирать любую. Ровная гладь показалась ей скучной, и она направилась в ту сторону, где виднелись несколько занесенных снегом стогов сена.

Низко летел самолет. Вера Аркадьевна взглянула вверх. От самолета отделилась фигура. «Какой опасный прыжок! — подумала она. — Но почему же не открывается парашют? Земля уж совсем близко. Ну хватит шутки шутить… Аааах!»

Падение свершилось совсем близко, в каких-нибудь 200-300 метрах от Веры Аркадьевны. Человек упал в снег и не был виден. Несколько взмахов палками, несколько резких скольжений, и Вера Аркадьевна была у стога. Лихорадочно работая руками, лыжей, палкой, она добралась через немногие минуты до человека, одетого в обычный костюм. Лишь смутно мелькнуло: «Значит, несчастный случай, никакой он не парашютист. Может быть, живой еще». Она приложила ухо к сердцу и услышала, да, ошибки быть не могло: сердце едва-едва, но билось. Что же теперь делать? Одна она не дотащит этого крупного мужчину до города. Но судьба решительно пошла на помощь Николаю Петровичу (читателю уже ясно, что это был он). Она не остановилась на полдороге. Вдалеке виднелась группа лыжников. Напрягая голос, Вера Аркадьевна позвала на помощь…

В больнице она нервно ходила по коридору, ожидая, что скажут доктора.

«Почему я так нервничаю? Можно подумать, что речь идет о близком мне человеке. Это, наверное, меня волнует его чудесное спасение.

Дверь палаты открылась, и вышел улыбающийся доктор. «Можете зайти, — сказал он. — Больной хочет видеть, кто его спас».

Вера Аркадьевна зашла в комнату. Спасенный смотрел на нее пристально. Сначала во взоре было одно лишь любопытство, оно сменилось недоверием, изумлением, восторгом.

— Бог мой! — прошептал Николай Петрович. — Вера, это сон!

Добежав остающиеся несколько шагов до его кровати, Вера Аркадьевна упала на колени и, смотря в такие близкие единственные любимые глаза, ответила:

— Милый мой, это не сон. Это ты, это я… Я знала, я чувствовала.

Нам остается рассказать читателю, присутствующему при счастливой развязке этой драмы войны, почему целых три года муж и жена не могли разыскать друг друга…»

Ни самые что ни на есть художественные описания природы, ни попытки проникновения в психологию героев не смогли бы спасти пошлого сюжета этого рассказа. Почему, собственно, пошлого? Да по той причине, что он неправдоподобен. Написанное непохоже на правду потому, что происшедшее невероятно. А невероятное есть невозможное.

Каждое отдельное событие, изложенное в отрывке, само по себе имеет небольшую, но значимую вероятность. Самая маленькая из них — это выпасть из самолета из-за несовершенства дверей. Пусть авиаинженеры фыркнут от негодования, но, наверное, один-два подобных случая за историю авиации были.

Остаться живым при свободном падении. Насколько мне не изменяет память, такие происшествия также фигурируют в истории.

Встретиться случайно с пропавшей без вести любимой супругой? Что ж, и такое событие не исключено.

В отрывке же все эти крайне маловероятные события происходят одновременно. А вероятность сложного события равняется произведению составляющих его элементов. Значит, если вероятность каждого из событий одна миллионная, то вероятность нашего рассказа измеряется единицей, поделенной на единицу с восемнадцатью нулями. А это уж, простите, стопроцентная невозможность.

Разумный человек обычно делит события на правдоподобные и выдуманные без учета данных теории. В критических рецензиях писатели иногда обвиняются в том, что они не считаются с художественной правдой. Мы же часто убеждаемся, что нарушения художественной правды — это просто использование крайне невероятного сюжета, невероятного в самом что ни на есть математическом смысле этого слова.

Мы говорили о нарушении художественной правды из-за непонимания теоремы об умножении вероятностей, из-за отнесения события, вероятность которого практически равна нулю, к событиям возможным. Но более распространенным является другое заблуждение, а именно поиск детерминистского истолкования явлений, носящих случайный характер.

Можно с большой уверенностью утверждать, что есть категория людей, у которых не совсем правильные представления о случайности.

Человеческому разуму свойственно возвышенное объяснение случайным явлениям. Иногда можно услышать: «Попал, бедняга, под автомобиль. Значит, так ему на роду было написано». Встречаются суждения по поводу несчастного случая более глубокомысленные: «Человек был плохой. Мать родную из дому выгнал. Как жил плохо, так и кончил плохо». Во всем этом имеется в виду, что в жизни есть какая-то сила, способная мстить человеку за дурные его поступки. Религиозному человеку мораль подобного типа весьма близка. Рационалистически же мыслящему ясно, что никакого закономерного воздаяния со стороны судьбы, бога, рока и пр. не существует. Однако романам и повестям, подводящим читателей к мысли: «Что-то в этом есть!» или: «От судьбы не уйдешь!» — нет числа.

Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.

С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели ее ребенка. Ребенок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери — вещун», или «Материнская любовь — большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и т.д. и т.п. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.

С другой — владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определенный класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».

На каждого из нас через разные каналы: радио, газеты, телевидение, болтовню с друзьями — обрушивается мощный поток информации, получаемой «по случаю». Фамилии актеров, названия книжных новинок, новых сортов сигарет, лезвий для бритья и многое другое мы узнаем большей частью случайно. В зависимости от размаха рекламы, от интереса, который общество проявляет к тому или иному «модному» предмету, имеется некоторая определенная вероятность о нем услышать. Эта вероятность более или менее одинакова для однородной группы населения — скажем, для жителей города, имеющих телевизоры и радиоприемники и выписывающих две-три наиболее распространенные газеты. Разумеется, равная вероятность получить информацию вовсе не означает, что по истечении какого-либо срока все люди окажутся одинаково сведущими. Случайное получение информации очень похоже на лотерейный выигрыш. Действительно, среди тысячи обладателей по десяти лотерейных билетов окажутся лица, которые не выиграют ни разу, которые выиграют один раз, найдутся обладатели двух счастливых билетов, будут и такие везучие игроки, у которых выигрыши выпадут на три, четыре и более билетов. Если, скажем, вероятность натолкнуться на соответствующую информацию в течение одного дня равна одной сотой, то через сто дней 37 процентов населения, так сказать, омываемого этим потоком информации, так и не столкнется с этой рекламой, другие 37 процентов встретятся с упоминанием о рекламируемом предмете 1 раз, 18 процентов — два раза, 6 процентов — три раза и т.д. Эти числа дает закон Пуассона.

Но ведь с одного взгляда на рекламу мало кто запоминает рекламируемую вещь. И знать — это еще не значит предпочитать. Роль рекламы оказывается решающей. Недостаточная реклама означает малую известность, а малая известность влечет двойной проигрыш в конкурсе на высшую оценку. Первая причина ясна. Те, кто не знает, естественно, не могут подать голос за то, что им неизвестно. Вторая причина состоит вот в чем. Менее популярные вещи, книги, актеры, писатели… известны наиболее образованным людям. Но поскольку они образованны, они делают свой выбор среди значительно большего числа конкурентов. По этой причине вероятность высшей оценки предмета или объекта, который выбирается знатоками, становится меньше вероятности высшей оценки, которую выносит менее осведомленный судья.

Вот простая числовая иллюстрация. Имеется 10 лучших ресторанов в городе. Из них два, например, «Империал» и «Континенталь», разрекламированы много более других. Гурманы знают о существовании всех десяти ресторанов, которые примерно одинаково хороши. Случайные же посетители ресторанов, как правило ужинающие у себя дома, знают лишь о существовании «Империала» и «Континенталя». Положим, что тысяча человек собирается сегодня вечером поужинать вне дома. Из них 500 знатоков и 500 обычных посетителей. На первый взгляд может показаться, что менее разрекламированные рестораны не будут в проигрыше. Однако будут — и в очень большом! 500 случайных посетителей с вероятностью 1/2 выберут один из двух наиболее известных ресторанов. Из них 250 очутится в «Империале» и 250 в «Континентале». А 500 знатоков с вероятностью 1/10 выберут один из десяти ресторанов. Таким образом, в «Империале» и «Континентале» окажется по 300 человек, а в остальных 8 ресторанах — по 50. И вот наименее компетентные потребители играют решающую роль.

В одной английской песенке рассказывается, как гвоздь выпал — подкова отвалилась, подкова отвалилась — лошадь захромала, лошадь захромала — командир убит, командир убит — конница разбита, конница разбита — армия бежит. И так далее, и тому подобное. Короче, получается, что плохо заколоченный гвоздь изменил ход истории.

Формально вроде все здесь правильно. И есть много умных людей, которые вполне серьезно полагают, что именно такие случайные происшествия вроде выпавшего гвоздя или насморка Наполеона перед сражением при Ватерлоо определяют ход истории.

Спору нет. Ничтожная случайность влияет на конкретное содержание жизни людей. Каждый из нас, перебрав мысленно свое прошлое, найдет не один пример, когда важный выбор в жизни — вуза, места работы, маршрута туристского путешествия со всеми вытекающими из этих выборов последствиями — определялся какими-то пустяками: брюки порвались, с приятелем поговорил, поскользнулся на апельсиновой корке. И каждая такая чепуха, в свою очередь, определялась какой-то другой мелочью, и так без конца.

Проанализировав все эти обстоятельства, нетрудно прийти к заключениям вроде: «Чему быть, тому не миновать»; «Не знаешь, где найдешь, где потеряешь»… Из этих мудростей, в свою очередь, вытекает жизненная философия ничегонеделания, тщетности каких бы то ни было усилий. Жить тогда становится скучно и неинтересно, даже трагично.

Какую же ошибку в рассуждении совершают те из нас, кто думает, что случайные изгибы жизненной линии делают бессмысленным управление своей судьбой? Вот какую.

В той или иной степени наш разум и воля принимали участие в самых что ни на есть случайных событиях. Вы были недостаточно собранны, когда поскользнулись на улице, недостаточно осмотрительны, когда переходили площадь, плохо отдавали себе отчет в своих возможностях, когда попытались спуститься на лыжах с крутой горы. Спору нет, происшедшее несчастье — событие случайное, то есть в одинаковых (вроде бы) условиях один поступает так, что для него все оканчивается благополучно, а другой платится за свои действия.

Существует, например, некоторая вероятность печального события сломать ногу, спускаясь на лыжах со горы. Эта вероятность есть сложная функция от способностей лыжника, от погоды, снежного покрова, лыж и многого другого. Так или иначе многолетняя статистика знает, из какого числа лыжников ломает ногу один. Кто же будет этот один? Самый несчастливый? Да не совсем так! Надо думать, что ничего подобного не произойдет с теми горнолыжниками, которые знают свои силы и умеют быть собранными в моменты опасности. И печальный жребий выпадет тому, кто плохо владеет лыжами, неосмотрителен, у кого малый объем внимания. Кому-то из них, конечно, повезет — их минует опасность, а кто-то расплатится за свои недостатки, и… статистика сработает.

Итак, вряд ли стоит пенять на случай в событиях, которые вполне случайны. В нашей воле было попасть в ту группу людей, для которой вероятность беды измеряется хоть и малыми, но все же значимыми дробями.

Роль случая в жизни каждого из нас в общем не так-то велика. Случай придает жизни конкретные черты. Но общая схема, «генеральный» вид остаются теми же, несмотря на извивы судьбы.

Случайности в судьбе каждого из нас имеют, безусловно, место. Но разум и воля вносят существенную коррективу в роль случайностей, которые встречаются на жизненном пути. Если без них жизнь изобразить в виде прямой линии, то со случайностями она будет иметь изгибы, волны, а то и петли. Но общее направление линии остается неизменным — оно предопределено нашим «я» и средой, где мы живем. Если со всеми этими оговорками мы соглашаемся признать роль случая в индивидуальных судьбах, то уж никак нельзя согласиться с тем, что случайности оказывают существенное влияние на ход истории. Историю делают люди. Поскольку реакции их на любую обстановку являются закономерными, и так как количество человеческих судеб, решающих историю, очень велико, то статистика больших чисел приводит к однозначному результату. Ведь и в науке тоже есть и «невезучие», и «счастливчики», поэтому она имеет свою историю.

Изучая тему «теории вероятности в жизни», я поняла, что это огромный раздел науки математики. И изучить его в один заход невозможно.

Я поняла, что действительно теория вероятности в жизни имеет место быть. Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

Можем ли мы предугадать с помощью этой теории, что случится с нами через день, два, тысячу? Конечно нет. Событий связанных с нами в каждый момент времени очень много. Только на одну лишь типизацию этих событий не хватит и жизни. А уж их совмещение — и вовсе гиблое дело. С помощью этой теории предугадывать можно лишь однотипные события. Например, такое как бросание монеты — это событие из 2 вероятностных результатов. В общем, прикладное применение теории вероятностей связанно с немалым количеством условий и ограничений. Для сложных процессов сопряжено с вычислениями, которые под силу лишь компьютеру.

Но следует помнить, что в жизни есть ещё такое понятие как удача, везение. Это то, что мы говорим — повезло, когда например какой-нибудь человек не учился никогда, никуда не стремился, лежал на диване, играл в компьютер, а через 5 лет мы видим как у него берут интервью на MTV. У него была вероятность 0.001 стать музыкантом, она выпала, ему повезло, такое схождение обстоятельств. То, что мы называем — оказался в нужном месте и в нужное время, когда срабатывают те самые 0.001.

Таким образом, работаем над собой, принимаем решения, которые могут повысить вероятность выполнения наших желаний и стремлений, каждый случай может добавить те заветные 0.00001, которые сыграют решающую роль в итоге.

1. А. Китайгородский. Невероятно — не факт!, 1972 г.

2. Гнеденко Б.В. и Хинчин А.Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М. — Л., 1952 г.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965 г.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967 г.

5. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 4 изд., М., 1946 г.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Возникновение и развитие теории вероятностей и ее приложений. Решение классических парадоксов игры в кости и «азартных игр». Парадокс закона больших чисел Бернулли и Бертрана, дня рождения и раздачи подарков. Изучение парадоксов из книги Г. Секея.

контрольная работа [64,8 K], добавлен 29.05.2020

Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.

презентация [474,2 K], добавлен 17.08.2020

Сущность понятия «комбинаторика». Историческая справка из истории развития науки. Правило суммы и произведения, размещения и перестановки. Общий вид формулы для вычисления числа сочетаний с повторениями. Пример решения задач по теории вероятностей.

контрольная работа [293,2 K], добавлен 30.01.2020

Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

шпаргалка [777,8 K], добавлен 24.12.2020

Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.

презентация [1,5 M], добавлен 19.07.2020

Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2020

Преимущество использования формулы Бернулли, ее место в теории вероятностей и применение в независимых испытаниях. Исторический очерк жизни и деятельности швейцарского математика Якоба Бернулли, его достижения в области дифференциального исчисления.

презентация [96,2 K], добавлен 11.12.2020

Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья в области решения первичных задач теории вероятностей. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей. Работа Х. Гюйгенса. Первые исследования по демографии. Формирование понятия геометрической вероятности.

курсовая работа [115,9 K], добавлен 24.11.2020

Изучение теории вероятностей в ходе школьной программы позволяет развивать у школьников логическое мышление, способность абстрагировать, выделять суть. История теории вероятностей и ее научные основы. Виды событий. Операции со случайными событиями.

дипломная работа [88,6 K], добавлен 22.01.2009

Изучение закономерностей массовых случайных явлений. Степень взаимосвязи теории вероятностей и статистики. Невозможные, возможные и достоверные события. Статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое определение вероятности. Формула Бейеса.

реферат [114,7 K], добавлен 08.05.2020

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

Эти казино дают самые большие бонусы за регистрацию:
  • JoyCasino
    JoyCasino

    №1 в рейтинге по бонусам и отдаче денег!

  • CasinoX
    CasinoX

    Пополняйте счет и получайте большие бонусы!

  • Чемпион
    Чемпион

    Лучшее русское казино с высокими выплатами!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Обзоры и рейтинги казино для игры с мобильных и ПК
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: